გადაწყვიტეთ {l}{7x-8y=-12}{-4x+2y=3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x - 8 y = - 12 }\\{ - 4 x + 2 y = 3 }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=0$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7x-8y=-12$$

მიუმატეთ 8y განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=8y-12$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y-12\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე 8y-12.

$$x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8y-12}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, -4x+2y=3.

$$-4\left(\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}\right)+2y=3$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{8y-12}{7}.

$$-\frac{32}{7}y+\frac{48}{7}+2y=3$$

მიუმატეთ -\frac{32y}{7} 2y-ს.

$$-\frac{18}{7}y+\frac{48}{7}=3$$

გამოაკელით \frac{48}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{18}{7}y=-\frac{27}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{18}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3}{2}-ით y აქ: x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{3}{2}-\frac{12}{7}$$

გაამრავლეთ \frac{8}{7}-ზე \frac{3}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{12-12}{7}$$

მიუმატეთ -\frac{12}{7} \frac{12}{7}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&-\frac{-8}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{7}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\left(-12\right)-\frac{4}{9}\times 3\\-\frac{2}{9}\left(-12\right)-\frac{7}{18}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

იმისათვის, რომ 7x და -4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე.

$$-4\times 7x-4\left(-8\right)y=-4\left(-12\right),7\left(-4\right)x+7\times 2y=7\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$-28x+32y=48,-28x+14y=21$$

გამოაკელით -28x+14y=21 -28x+32y=48-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-28x+28x+32y-14y=48-21$$

მიუმატეთ -28x 28x-ს. პირობები -28x და 28x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$32y-14y=48-21$$

მიუმატეთ 32y -14y-ს.

$$18y=48-21$$

მიუმატეთ 48 -21-ს.

$$18y=27$$

ორივე მხარე გაყავით 18-ზე.

$$y=\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3}{2}-ით y აქ: -4x+2y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-4x+2\times \frac{3}{2}=3$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{3}{2}.

$$-4x+3=3$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x=0$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$