გადაწყვიტეთ {l}{3x-y=3}{x-y=4}

$$\left. \begin{array}{l}{ 3 x - y = 3 }\\{ x - y = 4 }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-y=3,x-y=4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-y=3$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=y+3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე y+3.

$$x=\frac{1}{3}y+1$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{3}+1-ით x მეორე განტოლებაში, x-y=4.

$$\frac{1}{3}y+1-y=4$$

მიუმატეთ \frac{y}{3} -y-ს.

$$-\frac{2}{3}y+1=4$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{2}{3}y=3$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{2}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{9}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{9}{2}-ით y აქ: x=\frac{1}{3}y+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{9}{2}\right)+1$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -\frac{9}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{3}{2}+1$$

მიუმატეთ 1 -\frac{3}{2}-ს.

$$x=-\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{2},y=-\frac{9}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-y=3,x-y=4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 3-\frac{3}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{1}{2},y=-\frac{9}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-y=3,x-y=4$$

გამოაკელით x-y=4 3x-y=3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-x-y+y=3-4$$

მიუმატეთ -y y-ს. პირობები -y და y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3x-x=3-4$$

მიუმატეთ 3x -x-ს.

$$2x=3-4$$

მიუმატეთ 3 -4-ს.

$$2x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{2}-ით x აქ: x-y=4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-\frac{1}{2}-y=4$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=\frac{9}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{2},y=-\frac{9}{2}$$