გადაწყვიტეთ {l}{x^2/16-y^2/25=1}{125x-48y=481}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x ^ { 2 } } { 16 } - \frac { y ^ { 2 } } { 25 } = 1 }\\{ 125 x - 48 y = 481 }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{108\sqrt{481}}{2405}+5\approx 4.015124774\text{, }y=-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\approx 0.435220767$$

$$x=\frac{108\sqrt{481}}{2405}+5\approx 5.984875226\text{, }y=\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\approx 5.564779233$$

ეტაპები ჩანაცვლების და კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 400-ზე, 16,25-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$25x^{2}-16y^{2}=400$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$125x-48y=481,-16y^{2}+25x^{2}=400$$

ამოხსენით 125x-48y=481 x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$125x-48y=481$$

გამოაკელით -48y განტოლების ორივე მხარეს.

$$125x=48y+481$$

ორივე მხარე გაყავით 125-ზე.

$$x=\frac{48}{125}y+\frac{481}{125}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{48}{125}y+\frac{481}{125}-ით x მეორე განტოლებაში, -16y^{2}+25x^{2}=400.

$$-16y^{2}+25\left(\frac{48}{125}y+\frac{481}{125}\right)^{2}=400$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{48}{125}y+\frac{481}{125}.

$$-16y^{2}+25\left(\frac{2304}{15625}y^{2}+\frac{46176}{15625}y+\frac{231361}{15625}\right)=400$$

გაამრავლეთ 25-ზე \frac{2304}{15625}y^{2}+\frac{46176}{15625}y+\frac{231361}{15625}.

$$-16y^{2}+\frac{2304}{625}y^{2}+\frac{46176}{625}y+\frac{231361}{625}=400$$

მიუმატეთ -16y^{2} \frac{2304}{625}y^{2}-ს.

$$-\frac{7696}{625}y^{2}+\frac{46176}{625}y+\frac{231361}{625}=400$$

გამოაკელით 400 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{7696}{625}y^{2}+\frac{46176}{625}y-\frac{18639}{625}=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -16+25\times \left(\frac{48}{125}\right)^{2}-ით a, 25\times \frac{481}{125}\times \frac{48}{125}\times 2-ით b და -\frac{18639}{625}-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\left(\frac{46176}{625}\right)^{2}-4\left(-\frac{7696}{625}\right)\left(-\frac{18639}{625}\right)}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 25\times \frac{481}{125}\times \frac{48}{125}\times 2.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2132222976}{390625}-4\left(-\frac{7696}{625}\right)\left(-\frac{18639}{625}\right)}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -16+25\times \left(\frac{48}{125}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2132222976}{390625}+\frac{30784}{625}\left(-\frac{18639}{625}\right)}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

გაამრავლეთ \frac{30784}{625}-ზე -\frac{18639}{625} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2132222976-573782976}{390625}}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

მიუმატეთ \frac{2132222976}{390625} -\frac{573782976}{390625}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2493504}{625}}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

აიღეთ \frac{2493504}{625}-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -16+25\times \left(\frac{48}{125}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{-\frac{15392}{625}}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{-\frac{15392}{625}} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -\frac{46176}{625} \frac{72\sqrt{481}}{25}-ს.

$$y=\frac{\frac{72\sqrt{481}}{25}-\frac{46176}{625}}{-\frac{15392}{625}}$$

გაყავით -\frac{46176}{625}+\frac{72\sqrt{481}}{25} -\frac{15392}{625}-ზე -\frac{46176}{625}+\frac{72\sqrt{481}}{25}-ის გამრავლებით -\frac{15392}{625}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{-\frac{15392}{625}} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \frac{72\sqrt{481}}{25} -\frac{46176}{625}-ს.

$$y=\frac{-\frac{72\sqrt{481}}{25}-\frac{46176}{625}}{-\frac{15392}{625}}$$

გაყავით -\frac{46176}{625}-\frac{72\sqrt{481}}{25} -\frac{15392}{625}-ზე -\frac{46176}{625}-\frac{72\sqrt{481}}{25}-ის გამრავლებით -\frac{15392}{625}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3$$

არსებობს y-ის ორი ამონახსნი: 3-\frac{225\sqrt{481}}{1924} და 3+\frac{225\sqrt{481}}{1924}. ჩაანაცვლეთ 3-\frac{225\sqrt{481}}{1924}-ით y განტოლებაში x=\frac{48}{125}y+\frac{481}{125}, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=\frac{48}{125}\left(-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+\frac{481}{125}$$

გაამრავლეთ \frac{48}{125}-ზე 3-\frac{225\sqrt{481}}{1924}.

$$x=\frac{48\left(-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125}$$

ახლა ჩაანაცვლეთ 3+\frac{225\sqrt{481}}{1924}-ით y განტოლებაში x=\frac{48}{125}y+\frac{481}{125} და ამოხსენით, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=\frac{48}{125}\left(\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+\frac{481}{125}$$

გაამრავლეთ \frac{48}{125}-ზე 3+\frac{225\sqrt{481}}{1924}.

$$x=\frac{48\left(\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{48\left(-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125},y=-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\text{ or }x=\frac{48\left(\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125},y=\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3$$