გადაწყვიტეთ {l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=5$$

$$y=17$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს -1-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 3\left(y+1\right)-ზე, y+1,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1-ზე.

$$3x+3=y+1$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$3x+3-y=1$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$3x-y=1-3$$

გამოაკელით 3 1-ს -2-ის მისაღებად.

$$3x-y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 4\left(y-1\right)-ზე, y-1,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x-1-ზე.

$$4x-4=y-1$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$4x-4-y=-1$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$4x-y=-1+4$$

შეკრიბეთ -1 და 4, რათა მიიღოთ 3.

$$4x-y=3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-y=-2$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=y-2$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2+y}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x-y=3.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

მიუმატეთ \frac{4y}{3} -y-ს.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

მიუმატეთ \frac{8}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$y=17$$

ჩაანაცვლეთ 17-ით y აქ: x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 17.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{2}{3} \frac{17}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=17$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს -1-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 3\left(y+1\right)-ზე, y+1,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1-ზე.

$$3x+3=y+1$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$3x+3-y=1$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$3x-y=1-3$$

გამოაკელით 3 1-ს -2-ის მისაღებად.

$$3x-y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 4\left(y-1\right)-ზე, y-1,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x-1-ზე.

$$4x-4=y-1$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$4x-4-y=-1$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$4x-y=-1+4$$

შეკრიბეთ -1 და 4, რათა მიიღოთ 3.

$$4x-y=3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=5,y=17$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს -1-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 3\left(y+1\right)-ზე, y+1,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1-ზე.

$$3x+3=y+1$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$3x+3-y=1$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$3x-y=1-3$$

გამოაკელით 3 1-ს -2-ის მისაღებად.

$$3x-y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 4\left(y-1\right)-ზე, y-1,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x-1-ზე.

$$4x-4=y-1$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$4x-4-y=-1$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$4x-y=-1+4$$

შეკრიბეთ -1 და 4, რათა მიიღოთ 3.

$$4x-y=3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

გამოაკელით 4x-y=3 3x-y=-2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

მიუმატეთ -y y-ს. პირობები -y და y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3x-4x=-2-3$$

მიუმატეთ 3x -4x-ს.

$$-x=-2-3$$

მიუმატეთ -2 -3-ს.

$$-x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით x აქ: 4x-y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$4\times 5-y=3$$

გაამრავლეთ 4-ზე 5.

$$20-y=3$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=-17$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=17$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=17$$