გადაწყვიტეთ {r}{x-1=y+1}{2(y-1)=x+1}

$$\left. \begin{array} { r } { x - 1 = y + 1 } \\ { 2 ( y - 1 ) = x + 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=7$$

$$y=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$x-1-y=1$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$x-y=1+1$$

შეკრიბეთ 1 და 1, რათა მიიღოთ 2.

$$x-y=2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y-1-ზე.

$$2y-2=x+1$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-2-x=1$$

დაამატეთ 2 ორივე მხარეს.

$$2y-x=1+2$$

შეკრიბეთ 1 და 2, რათა მიიღოთ 3.

$$2y-x=3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-y=2$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=y+2$$

ჩაანაცვლეთ y+2-ით x მეორე განტოლებაში, -x+2y=3.

$$-\left(y+2\right)+2y=3$$

გაამრავლეთ -1-ზე y+2.

$$-y-2+2y=3$$

მიუმატეთ -y 2y-ს.

$$y-2=3$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით y აქ: x=y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=5+2$$

მიუმატეთ 2 5-ს.

$$x=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=7,y=5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$x-1-y=1$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$x-y=1+1$$

შეკრიბეთ 1 და 1, რათა მიიღოთ 2.

$$x-y=2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y-1-ზე.

$$2y-2=x+1$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-2-x=1$$

დაამატეთ 2 ორივე მხარეს.

$$2y-x=1+2$$

შეკრიბეთ 1 და 2, რათა მიიღოთ 3.

$$2y-x=3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2+3\\2+3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=7,y=5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$x-1-y=1$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$x-y=1+1$$

შეკრიბეთ 1 და 1, რათა მიიღოთ 2.

$$x-y=2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y-1-ზე.

$$2y-2=x+1$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-2-x=1$$

დაამატეთ 2 ორივე მხარეს.

$$2y-x=1+2$$

შეკრიბეთ 1 და 2, რათა მიიღოთ 3.

$$2y-x=3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

იმისათვის, რომ x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-x-\left(-y\right)=-2,-x+2y=3$$

გაამარტივეთ.

$$-x+y=-2,-x+2y=3$$

გამოაკელით -x+2y=3 -x+y=-2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-x+x+y-2y=-2-3$$

მიუმატეთ -x x-ს. პირობები -x და x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$y-2y=-2-3$$

მიუმატეთ y -2y-ს.

$$-y=-2-3$$

მიუმატეთ -2 -3-ს.

$$-y=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით y აქ: -x+2y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+2\times 5=3$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$-x+10=3$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-7$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=7,y=5$$