გადაწყვიტეთ {r}{x+4y=900}{3x-4y=300}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 900 } \\ { 3 x - 4 y = 300 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=300$$

$$y=150$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+4y=900,3x-4y=300$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+4y=900$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-4y+900$$

ჩაანაცვლეთ -4y+900-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-4y=300.

$$3\left(-4y+900\right)-4y=300$$

გაამრავლეთ 3-ზე -4y+900.

$$-12y+2700-4y=300$$

მიუმატეთ -12y -4y-ს.

$$-16y+2700=300$$

გამოაკელით 2700 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-16y=-2400$$

ორივე მხარე გაყავით -16-ზე.

$$y=150$$

ჩაანაცვლეთ 150-ით y აქ: x=-4y+900. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-4\times 150+900$$

გაამრავლეთ -4-ზე 150.

$$x=-600+900$$

მიუმატეთ 900 -600-ს.

$$x=300$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=300,y=150$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+4y=900,3x-4y=300$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-4\times 3}&-\frac{4}{-4-4\times 3}\\-\frac{3}{-4-4\times 3}&\frac{1}{-4-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{16}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 900+\frac{1}{4}\times 300\\\frac{3}{16}\times 900-\frac{1}{16}\times 300\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=300,y=150$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+4y=900,3x-4y=300$$

იმისათვის, რომ x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$3x+3\times 4y=3\times 900,3x-4y=300$$

გაამარტივეთ.

$$3x+12y=2700,3x-4y=300$$

გამოაკელით 3x-4y=300 3x+12y=2700-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x+12y+4y=2700-300$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y+4y=2700-300$$

მიუმატეთ 12y 4y-ს.

$$16y=2700-300$$

მიუმატეთ 2700 -300-ს.

$$16y=2400$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$y=150$$

ჩაანაცვლეთ 150-ით y აქ: 3x-4y=300. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-4\times 150=300$$

გაამრავლეთ -4-ზე 150.

$$3x-600=300$$

მიუმატეთ 600 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=900$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=300$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=300,y=150$$