გადაწყვიტეთ {r}{x+4y=40}{-x+8y=68}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 40 } \\ { - x + 8 y = 68 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=4$$

$$y=9$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+4y=40$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-4y+40$$

ჩაანაცვლეთ -4y+40-ით x მეორე განტოლებაში, -x+8y=68.

$$-\left(-4y+40\right)+8y=68$$

გაამრავლეთ -1-ზე -4y+40.

$$4y-40+8y=68$$

მიუმატეთ 4y 8y-ს.

$$12y-40=68$$

მიუმატეთ 40 განტოლების ორივე მხარეს.

$$12y=108$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$y=9$$

ჩაანაცვლეთ 9-ით y აქ: x=-4y+40. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-4\times 9+40$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=-36+40$$

მიუმატეთ 40 -36-ს.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=9$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{8-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{8-4\left(-1\right)}&\frac{1}{8-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 40-\frac{1}{3}\times 68\\\frac{1}{12}\times 40+\frac{1}{12}\times 68\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=4,y=9$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

იმისათვის, რომ x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-x-4y=-40,-x+8y=68$$

გამოაკელით -x+8y=68 -x-4y=-40-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-x+x-4y-8y=-40-68$$

მიუმატეთ -x x-ს. პირობები -x და x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4y-8y=-40-68$$

მიუმატეთ -4y -8y-ს.

$$-12y=-40-68$$

მიუმატეთ -40 -68-ს.

$$-12y=-108$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$y=9$$

ჩაანაცვლეთ 9-ით y აქ: -x+8y=68. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+8\times 9=68$$

გაამრავლეთ 8-ზე 9.

$$-x+72=68$$

გამოაკელით 72 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=9$$