გადაწყვიტეთ {r}{d+q=40}{10d+0.25q=5.80}

$$\left. \begin{array} { r } { d + q = 40 } \\ { 10 d + 0.25 q = 5.80 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა d, q-ისთვის

$$d=-\frac{28}{65}\approx -0.430769231$$

$$q = \frac{2628}{65} = 40\frac{28}{65} \approx 40.430769231$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი d-ისთვის, d-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$d+q=40$$

გამოაკელით q განტოლების ორივე მხარეს.

$$d=-q+40$$

ჩაანაცვლეთ -q+40-ით d მეორე განტოლებაში, 10d+0.25q=5.8.

$$10\left(-q+40\right)+0.25q=5.8$$

გაამრავლეთ 10-ზე -q+40.

$$-10q+400+0.25q=5.8$$

მიუმატეთ -10q \frac{q}{4}-ს.

$$-9.75q+400=5.8$$

გამოაკელით 400 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9.75q=-394.2$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -9.75-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$q=\frac{2628}{65}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2628}{65}-ით q აქ: d=-q+40. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ d.

$$d=-\frac{2628}{65}+40$$

მიუმატეთ 40 -\frac{2628}{65}-ს.

$$d=-\frac{28}{65}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.25}{0.25-10}&-\frac{1}{0.25-10}\\-\frac{10}{0.25-10}&\frac{1}{0.25-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}&\frac{4}{39}\\\frac{40}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}\times 40+\frac{4}{39}\times 5.8\\\frac{40}{39}\times 40-\frac{4}{39}\times 5.8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{65}\\\frac{2628}{65}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - d და q.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

იმისათვის, რომ d და 10d ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 10-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$10d+10q=10\times 40,10d+0.25q=5.8$$

გაამარტივეთ.

$$10d+10q=400,10d+0.25q=5.8$$

გამოაკელით 10d+0.25q=5.8 10d+10q=400-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$10d-10d+10q-0.25q=400-5.8$$

მიუმატეთ 10d -10d-ს. პირობები 10d და -10d გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10q-0.25q=400-5.8$$

მიუმატეთ 10q -\frac{q}{4}-ს.

$$9.75q=400-5.8$$

მიუმატეთ 400 -5.8-ს.

$$9.75q=394.2$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 9.75-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$q=\frac{2628}{65}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2628}{65}-ით q აქ: 10d+0.25q=5.8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ d.

$$10d+0.25\times \frac{2628}{65}=5.8$$

გაამრავლეთ 0.25-ზე \frac{2628}{65} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$10d+\frac{657}{65}=5.8$$

გამოაკელით \frac{657}{65} განტოლების ორივე მხარეს.

$$10d=-\frac{56}{13}$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$d=-\frac{28}{65}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$