გადაწყვიტეთ {r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30}

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7x+2y=24$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=-2y+24$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე -2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y+24}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, -8x+2y=-30.

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

გაამრავლეთ -8-ზე \frac{-2y+24}{7}.

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

მიუმატეთ \frac{16y}{7} 2y-ს.

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

მიუმატეთ \frac{192}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{30}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{3}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{5}-ით y აქ: x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{7}-ზე -\frac{3}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

მიუმატეთ \frac{24}{7} \frac{6}{35}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{18}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

გამოაკელით -8x+2y=-30 7x+2y=24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

მიუმატეთ 2y -2y-ს. პირობები 2y და -2y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$7x+8x=24+30$$

მიუმატეთ 7x 8x-ს.

$$15x=24+30$$

მიუმატეთ 24 30-ს.

$$15x=54$$

ორივე მხარე გაყავით 15-ზე.

$$x=\frac{18}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{18}{5}-ით x აქ: -8x+2y=-30. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

გაამრავლეთ -8-ზე \frac{18}{5}.

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

მიუმატეთ \frac{144}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=-\frac{6}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=-\frac{3}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$