გადაწყვიტეთ {r}{6x+8y=k}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 8 y = k } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

$$y=\frac{k}{2}-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6x+8y=k$$

გამოაკელით 8y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-8y+k$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+k\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე -8y+k.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{4y}{3}+\frac{k}{6}-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=1.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}+y=1$$

მიუმატეთ -\frac{4y}{3} y-ს.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{k}{6}=1$$

გამოაკელით \frac{k}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{k}{6}+1$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -3-ზე.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

ჩაანაცვლეთ -3+\frac{k}{2}-ით y აქ: x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{4}{3}\left(\frac{k}{2}-3\right)+\frac{k}{6}$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{3}-ზე -3+\frac{k}{2}.

$$x=-\frac{2k}{3}+4+\frac{k}{6}$$

მიუმატეთ \frac{k}{6} 4-\frac{2k}{3}-ს.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-8}&-\frac{8}{6-8}\\-\frac{1}{6-8}&\frac{6}{6-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}k+4\\\frac{1}{2}k-3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{2}+4\\\frac{k}{2}-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

იმისათვის, რომ 6x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$6x+8y=k,6x+6y=6$$

გამოაკელით 6x+6y=6 6x+8y=k-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+8y-6y=k-6$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$8y-6y=k-6$$

მიუმატეთ 8y -6y-ს.

$$2y=k-6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

ჩაანაცვლეთ \frac{k}{2}-3-ით y აქ: x+y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+\frac{k}{2}-3=1$$

გამოაკელით -3+\frac{k}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$