გადაწყვიტეთ {r}{5x-3y=17}{-2x+5y=-22}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 3 y = 17 } \\ { - 2 x + 5 y = - 22 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=-4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-3y=17$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=3y+17$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+17\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 3y+17.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y+17}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, -2x+5y=-22.

$$-2\left(\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}\right)+5y=-22$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{3y+17}{5}.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{34}{5}+5y=-22$$

მიუმატეთ -\frac{6y}{5} 5y-ს.

$$\frac{19}{5}y-\frac{34}{5}=-22$$

მიუმატეთ \frac{34}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{19}{5}y=-\frac{76}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{19}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: x=\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{5}\left(-4\right)+\frac{17}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{5}-ზე -4.

$$x=\frac{-12+17}{5}$$

მიუმატეთ \frac{17}{5} -\frac{12}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 17+\frac{3}{19}\left(-22\right)\\\frac{2}{19}\times 17+\frac{5}{19}\left(-22\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=-4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

იმისათვის, რომ 5x და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$-2\times 5x-2\left(-3\right)y=-2\times 17,5\left(-2\right)x+5\times 5y=5\left(-22\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-10x+6y=-34,-10x+25y=-110$$

გამოაკელით -10x+25y=-110 -10x+6y=-34-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-10x+10x+6y-25y=-34+110$$

მიუმატეთ -10x 10x-ს. პირობები -10x და 10x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y-25y=-34+110$$

მიუმატეთ 6y -25y-ს.

$$-19y=-34+110$$

მიუმატეთ -34 110-ს.

$$-19y=76$$

ორივე მხარე გაყავით -19-ზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: -2x+5y=-22. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x+5\left(-4\right)=-22$$

გაამრავლეთ 5-ზე -4.

$$-2x-20=-22$$

მიუმატეთ 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-2$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-4$$