გადაწყვიტეთ {r}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-2y+4=0$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x-2y=-4$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=2y-4$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -4+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{2}-1-ით x მეორე განტოლებაში, -4x+3y-3=0.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{y}{2}-1.

$$-2y+4+3y-3=0$$

მიუმატეთ -2y 3y-ს.

$$y+4-3=0$$

მიუმატეთ 4 -3-ს.

$$y+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x=\frac{1}{2}y-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -1.

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

მიუმატეთ -1 -\frac{1}{2}-ს.

$$x=-\frac{3}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

იმისათვის, რომ 4x და -4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

გაამარტივეთ.

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

გამოაკელით -16x+12y-12=0 -16x+8y-16=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

მიუმატეთ -16x 16x-ს. პირობები -16x და 16x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$8y-12y-16+12=0$$

მიუმატეთ 8y -12y-ს.

$$-4y-16+12=0$$

მიუმატეთ -16 12-ს.

$$-4y-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4y=4$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: -4x+3y-3=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

გაამრავლეთ 3-ზე -1.

$$-4x-3-3=0$$

მიუმატეთ -3 -3-ს.

$$-4x-6=0$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x=6$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=-\frac{3}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$