გადაწყვიტეთ {r}{32x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$32x+3y=5$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$32x=-3y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 32-ზე.

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{32}-ზე -3y+5.

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+5}{32}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-3y+5}{32}.

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

მიუმატეთ -\frac{9y}{32} 2y-ს.

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

გამოაკელით \frac{15}{32} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{55}{32}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{445}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{445}{11}-ით y აქ: x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{32}-ზე \frac{445}{11} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

მიუმატეთ \frac{5}{32} -\frac{1335}{352}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{40}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

იმისათვის, რომ 32x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 32-ზე.

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

გაამარტივეთ.

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

გამოაკელით 96x+64y=2240 96x+9y=15-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

მიუმატეთ 96x -96x-ს. პირობები 96x და -96x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9y-64y=15-2240$$

მიუმატეთ 9y -64y-ს.

$$-55y=15-2240$$

მიუმატეთ 15 -2240-ს.

$$-55y=-2225$$

ორივე მხარე გაყავით -55-ზე.

$$y=\frac{445}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{445}{11}-ით y აქ: 3x+2y=70. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{445}{11}.

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

გამოაკელით \frac{890}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-\frac{120}{11}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=-\frac{40}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$