გადაწყვიტეთ {r}{12x+3y=5}{3x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{11}{15}\approx -0.733333333$$

$$y = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} = 4.6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$12x+3y=5$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$12x=-3y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{12}-ზე -3y+5.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+2y=7.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=7$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{4} 2y-ს.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

გამოაკელით \frac{5}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{4}y=\frac{23}{4}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{23}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{23}{5}-ით y აქ: x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{23}{5}+\frac{5}{12}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{4}-ზე \frac{23}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{23}{20}+\frac{5}{12}$$

მიუმატეთ \frac{5}{12} -\frac{23}{20}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{11}{15}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\\\frac{23}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

იმისათვის, რომ 12x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 12-ზე.

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 7$$

გაამარტივეთ.

$$36x+9y=15,36x+24y=84$$

გამოაკელით 36x+24y=84 36x+9y=15-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$36x-36x+9y-24y=15-84$$

მიუმატეთ 36x -36x-ს. პირობები 36x და -36x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9y-24y=15-84$$

მიუმატეთ 9y -24y-ს.

$$-15y=15-84$$

მიუმატეთ 15 -84-ს.

$$-15y=-69$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$y=\frac{23}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{23}{5}-ით y აქ: 3x+2y=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+2\times \frac{23}{5}=7$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{23}{5}.

$$3x+\frac{46}{5}=7$$

გამოაკელით \frac{46}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-\frac{11}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=-\frac{11}{15}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$