გადაწყვიტეთ {r}{-7x+2y=-39}{9x-5y=55}

$$\left. \begin{array} { r } { - 7 x + 2 y = - 39 } \\ { 9 x - 5 y = 55 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=5$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-7x+2y=-39$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7x=-2y-39$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-39\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{7}-ზე -2y-39.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2y+39}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, 9x-5y=55.

$$9\left(\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}\right)-5y=55$$

გაამრავლეთ 9-ზე \frac{2y+39}{7}.

$$\frac{18}{7}y+\frac{351}{7}-5y=55$$

მიუმატეთ \frac{18y}{7} -5y-ს.

$$-\frac{17}{7}y+\frac{351}{7}=55$$

გამოაკელით \frac{351}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{17}{7}y=\frac{34}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{17}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{39}{7}$$

გაამრავლეთ \frac{2}{7}-ზე -2.

$$x=\frac{-4+39}{7}$$

მიუმატეთ \frac{39}{7} -\frac{4}{7}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{2}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{7}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}&-\frac{2}{17}\\-\frac{9}{17}&-\frac{7}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}\left(-39\right)-\frac{2}{17}\times 55\\-\frac{9}{17}\left(-39\right)-\frac{7}{17}\times 55\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=5,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

იმისათვის, რომ -7x და 9x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -7-ზე.

$$9\left(-7\right)x+9\times 2y=9\left(-39\right),-7\times 9x-7\left(-5\right)y=-7\times 55$$

გაამარტივეთ.

$$-63x+18y=-351,-63x+35y=-385$$

გამოაკელით -63x+35y=-385 -63x+18y=-351-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-63x+63x+18y-35y=-351+385$$

მიუმატეთ -63x 63x-ს. პირობები -63x და 63x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$18y-35y=-351+385$$

მიუმატეთ 18y -35y-ს.

$$-17y=-351+385$$

მიუმატეთ -351 385-ს.

$$-17y=34$$

ორივე მხარე გაყავით -17-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: 9x-5y=55. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$9x-5\left(-2\right)=55$$

გაამრავლეთ -5-ზე -2.

$$9x+10=55$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=45$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=-2$$