გადაწყვიტეთ {r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12}

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+1-ზე.

$$2x+2-3y=-9$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$2x-3y=-9-2$$

გამოაკელით 2 -9-ს -11-ის მისაღებად.

$$2x-3y=-11$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+5-y-ზე.

$$3x+15-3y+3x=12$$

დააჯგუფეთ 3x და 3x, რათა მიიღოთ 6x.

$$6x+15-3y=12$$

გამოაკელით 15 ორივე მხარეს.

$$6x-3y=12-15$$

გამოაკელით 15 12-ს -3-ის მისაღებად.

$$6x-3y=-3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-3y=-11$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y-11$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 3y-11.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y-11}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 6x-3y=-3.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{3y-11}{2}.

$$9y-33-3y=-3$$

მიუმატეთ 9y -3y-ს.

$$6y-33=-3$$

მიუმატეთ 33 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6y=30$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$y=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე 5.

$$x=\frac{15-11}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{11}{2} \frac{15}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+1-ზე.

$$2x+2-3y=-9$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$2x-3y=-9-2$$

გამოაკელით 2 -9-ს -11-ის მისაღებად.

$$2x-3y=-11$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+5-y-ზე.

$$3x+15-3y+3x=12$$

დააჯგუფეთ 3x და 3x, რათა მიიღოთ 6x.

$$6x+15-3y=12$$

გამოაკელით 15 ორივე მხარეს.

$$6x-3y=12-15$$

გამოაკელით 15 12-ს -3-ის მისაღებად.

$$6x-3y=-3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+1-ზე.

$$2x+2-3y=-9$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$2x-3y=-9-2$$

გამოაკელით 2 -9-ს -11-ის მისაღებად.

$$2x-3y=-11$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+5-y-ზე.

$$3x+15-3y+3x=12$$

დააჯგუფეთ 3x და 3x, რათა მიიღოთ 6x.

$$6x+15-3y=12$$

გამოაკელით 15 ორივე მხარეს.

$$6x-3y=12-15$$

გამოაკელით 15 12-ს -3-ის მისაღებად.

$$6x-3y=-3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

გამოაკელით 6x-3y=-3 2x-3y=-11-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

მიუმატეთ -3y 3y-ს. პირობები -3y და 3y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2x-6x=-11+3$$

მიუმატეთ 2x -6x-ს.

$$-4x=-11+3$$

მიუმატეთ -11 3-ს.

$$-4x=-8$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x აქ: 6x-3y=-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$6\times 2-3y=-3$$

გაამრავლეთ 6-ზე 2.

$$12-3y=-3$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=-15$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=5$$