გადაწყვიტეთ {l}{y=x+6}{y=2-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 6 } \\ { y = 2 - 3 x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3x ორივე მხარეს.

$$y+3x=2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-x=6,y+3x=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-x=6$$

მიუმატეთ x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=x+6$$

ჩაანაცვლეთ x+6-ით y მეორე განტოლებაში, y+3x=2.

$$x+6+3x=2$$

მიუმატეთ x 3x-ს.

$$4x+6=2$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით x აქ: y=x+6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-1+6$$

მიუმატეთ 6 -1-ს.

$$y=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=5,x=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3x ორივე მხარეს.

$$y+3x=2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-x=6,y+3x=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{1}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=5,x=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3x ორივე მხარეს.

$$y+3x=2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-x=6,y+3x=2$$

გამოაკელით y+3x=2 y-x=6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-x-3x=6-2$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-x-3x=6-2$$

მიუმატეთ -x -3x-ს.

$$-4x=6-2$$

მიუმატეთ 6 -2-ს.

$$-4x=4$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით x აქ: y+3x=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y+3\left(-1\right)=2$$

გაამრავლეთ 3-ზე -1.

$$y-3=2$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=5,x=-1$$