გადაწყვიტეთ {l}{y=8x-18}{y=x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 8 x - 18 } \\ { y = x - 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=2$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$y-8x=-18$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-4$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-8x=-18,y-x=-4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-8x=-18$$

მიუმატეთ 8x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=8x-18$$

ჩაანაცვლეთ 8x-18-ით y მეორე განტოლებაში, y-x=-4.

$$8x-18-x=-4$$

მიუმატეთ 8x -x-ს.

$$7x-18=-4$$

მიუმატეთ 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=14$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x აქ: y=8x-18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=8\times 2-18$$

გაამრავლეთ 8-ზე 2.

$$y=16-18$$

მიუმატეთ -18 16-ს.

$$y=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-2,x=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$y-8x=-18$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-4$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-8x=-18,y-x=-4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-8\right)}&-\frac{-8}{-1-\left(-8\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-8\right)}&\frac{1}{-1-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-18\right)+\frac{8}{7}\left(-4\right)\\-\frac{1}{7}\left(-18\right)+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-2,x=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$y-8x=-18$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-4$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-8x=-18,y-x=-4$$

გამოაკელით y-x=-4 y-8x=-18-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-8x+x=-18+4$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-8x+x=-18+4$$

მიუმატეთ -8x x-ს.

$$-7x=-18+4$$

მიუმატეთ -18 4-ს.

$$-7x=-14$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$x=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x აქ: y-x=-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-2=-4$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-2,x=2$$