გადაწყვიტეთ {l}{y=7.50p+45}{y=-0.60p+300}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7.50 p + 45 } \\ { y = - 0.60 p + 300 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, p-ისთვის

$$y = \frac{2530}{9} = 281\frac{1}{9} \approx 281.111111111$$

$$p = \frac{850}{27} = 31\frac{13}{27} \approx 31.481481481$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7.5p ორივე მხარეს.

$$y-7.5p=45$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 0.6p ორივე მხარეს.

$$y+0.6p=300$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-7.5p=45$$

მიუმატეთ \frac{15p}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=7.5p+45$$

ჩაანაცვლეთ \frac{15p}{2}+45-ით y მეორე განტოლებაში, y+0.6p=300.

$$7.5p+45+0.6p=300$$

მიუმატეთ \frac{15p}{2} \frac{3p}{5}-ს.

$$8.1p+45=300$$

გამოაკელით 45 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8.1p=255$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 8.1-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$p=\frac{850}{27}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{850}{27}-ით p აქ: y=7.5p+45. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=7.5\times \frac{850}{27}+45$$

გაამრავლეთ 7.5-ზე \frac{850}{27} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=\frac{2125}{9}+45$$

მიუმატეთ 45 \frac{2125}{9}-ს.

$$y=\frac{2530}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7.5p ორივე მხარეს.

$$y-7.5p=45$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 0.6p ორივე მხარეს.

$$y+0.6p=300$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.6}{0.6-\left(-7.5\right)}&-\frac{-7.5}{0.6-\left(-7.5\right)}\\-\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}&\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{25}{27}\\-\frac{10}{81}&\frac{10}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 45+\frac{25}{27}\times 300\\-\frac{10}{81}\times 45+\frac{10}{81}\times 300\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2530}{9}\\\frac{850}{27}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და p.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7.5p ორივე მხარეს.

$$y-7.5p=45$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 0.6p ორივე მხარეს.

$$y+0.6p=300$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

გამოაკელით y+0.6p=300 y-7.5p=45-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-7.5p-0.6p=45-300$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-7.5p-0.6p=45-300$$

მიუმატეთ -\frac{15p}{2} -\frac{3p}{5}-ს.

$$-8.1p=45-300$$

მიუმატეთ 45 -300-ს.

$$-8.1p=-255$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -8.1-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$p=\frac{850}{27}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{850}{27}-ით p აქ: y+0.6p=300. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y+0.6\times \frac{850}{27}=300$$

გაამრავლეთ 0.6-ზე \frac{850}{27} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y+\frac{170}{9}=300$$

გამოაკელით \frac{170}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{2530}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$