გადაწყვიტეთ {l}{y=5-x}{1=4x+3y}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 - x } \\ { 1 = 4 x + 3 y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-14$$

$$y=19$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$y+x=5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$4x+3y=1$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y+x=5,3y+4x=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y+x=5$$

გამოაკელით x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-x+5$$

ჩაანაცვლეთ -x+5-ით y მეორე განტოლებაში, 3y+4x=1.

$$3\left(-x+5\right)+4x=1$$

გაამრავლეთ 3-ზე -x+5.

$$-3x+15+4x=1$$

მიუმატეთ -3x 4x-ს.

$$x+15=1$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-14$$

ჩაანაცვლეთ -14-ით x აქ: y=-x+5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-\left(-14\right)+5$$

გაამრავლეთ -1-ზე -14.

$$y=14+5$$

მიუმატეთ 5 14-ს.

$$y=19$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=19,x=-14$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$y+x=5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$4x+3y=1$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y+x=5,3y+4x=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-3}&-\frac{1}{4-3}\\-\frac{3}{4-3}&\frac{1}{4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 5-1\\-3\times 5+1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\-14\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=19,x=-14$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$y+x=5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$4x+3y=1$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y+x=5,3y+4x=1$$

იმისათვის, რომ y და 3y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$3y+3x=3\times 5,3y+4x=1$$

გაამარტივეთ.

$$3y+3x=15,3y+4x=1$$

გამოაკელით 3y+4x=1 3y+3x=15-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3y-3y+3x-4x=15-1$$

მიუმატეთ 3y -3y-ს. პირობები 3y და -3y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3x-4x=15-1$$

მიუმატეთ 3x -4x-ს.

$$-x=15-1$$

მიუმატეთ 15 -1-ს.

$$-x=14$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-14$$

ჩაანაცვლეთ -14-ით x აქ: 3y+4x=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$3y+4\left(-14\right)=1$$

გაამრავლეთ 4-ზე -14.

$$3y-56=1$$

მიუმატეთ 56 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=57$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=19$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=19,x=-14$$