გადაწყვიტეთ {l}{y=4x+1}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x + 1 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=1$$

$$y=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$y-4x=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-4x=1,y-5x=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-4x=1$$

მიუმატეთ 4x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=4x+1$$

ჩაანაცვლეთ 4x+1-ით y მეორე განტოლებაში, y-5x=0.

$$4x+1-5x=0$$

მიუმატეთ 4x -5x-ს.

$$-x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით x აქ: y=4x+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=4+1$$

მიუმატეთ 1 4-ს.

$$y=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=5,x=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$y-4x=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-4x=1,y-5x=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-4\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=5,x=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$y-4x=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-4x=1,y-5x=0$$

გამოაკელით y-5x=0 y-4x=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-4x+5x=1$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4x+5x=1$$

მიუმატეთ -4x 5x-ს.

$$x=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით x აქ: y-5x=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-5=0$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=5,x=1$$