გადაწყვიტეთ {l}{y=3x+1}{y=6x+4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x + 1 } \\ { y = 6 x + 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$y-3x=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$y-6x=4$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-3x=1,y-6x=4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-3x=1$$

მიუმატეთ 3x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=3x+1$$

ჩაანაცვლეთ 3x+1-ით y მეორე განტოლებაში, y-6x=4.

$$3x+1-6x=4$$

მიუმატეთ 3x -6x-ს.

$$-3x+1=4$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=3$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით x აქ: y=3x+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=3\left(-1\right)+1$$

გაამრავლეთ 3-ზე -1.

$$y=-3+1$$

მიუმატეთ 1 -3-ს.

$$y=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-2,x=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$y-3x=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$y-6x=4$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-3x=1,y-6x=4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-6-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-6-\left(-3\right)}&\frac{1}{-6-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-4\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-2,x=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$y-3x=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$y-6x=4$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-3x=1,y-6x=4$$

გამოაკელით y-6x=4 y-3x=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-3x+6x=1-4$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3x+6x=1-4$$

მიუმატეთ -3x 6x-ს.

$$3x=1-4$$

მიუმატეთ 1 -4-ს.

$$3x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით x აქ: y-6x=4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-6\left(-1\right)=4$$

გაამრავლეთ -6-ზე -1.

$$y+6=4$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-2,x=-1$$