გადაწყვიტეთ {l}{y=2x+7}{2y=x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 7 } \\ { 2 y = x + 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-4$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=7$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-x=2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-2x=7$$

მიუმატეთ 2x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=2x+7$$

ჩაანაცვლეთ 2x+7-ით y მეორე განტოლებაში, 2y-x=2.

$$2\left(2x+7\right)-x=2$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2x+7.

$$4x+14-x=2$$

მიუმატეთ 4x -x-ს.

$$3x+14=2$$

გამოაკელით 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-12$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით x აქ: y=2x+7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=2\left(-4\right)+7$$

გაამრავლეთ 2-ზე -4.

$$y=-8+7$$

მიუმატეთ 7 -8-ს.

$$y=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-1,x=-4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=7$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-x=2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 2\\-\frac{2}{3}\times 7+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-1,x=-4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=7$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-x=2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

იმისათვის, რომ y და 2y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 7,2y-x=2$$

გაამარტივეთ.

$$2y-4x=14,2y-x=2$$

გამოაკელით 2y-x=2 2y-4x=14-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2y-2y-4x+x=14-2$$

მიუმატეთ 2y -2y-ს. პირობები 2y და -2y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4x+x=14-2$$

მიუმატეთ -4x x-ს.

$$-3x=14-2$$

მიუმატეთ 14 -2-ს.

$$-3x=12$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით x აქ: 2y-x=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$2y-\left(-4\right)=2$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=-2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-1,x=-4$$