გადაწყვიტეთ {l}{y=2x+3}{y=6x+15}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 3 } \\ { y = 6 x + 15 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-3$$

$$y=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$y-6x=15$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-2x=3,y-6x=15$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-2x=3$$

მიუმატეთ 2x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=2x+3$$

ჩაანაცვლეთ 2x+3-ით y მეორე განტოლებაში, y-6x=15.

$$2x+3-6x=15$$

მიუმატეთ 2x -6x-ს.

$$-4x+3=15$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x=12$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით x აქ: y=2x+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=2\left(-3\right)+3$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3.

$$y=-6+3$$

მიუმატეთ 3 -6-ს.

$$y=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-3,x=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$y-6x=15$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-2x=3,y-6x=15$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-6-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-6-\left(-2\right)}&\frac{1}{-6-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}\times 15\\\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\times 15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-3,x=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$y-6x=15$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-2x=3,y-6x=15$$

გამოაკელით y-6x=15 y-2x=3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-2x+6x=3-15$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2x+6x=3-15$$

მიუმატეთ -2x 6x-ს.

$$4x=3-15$$

მიუმატეთ 3 -15-ს.

$$4x=-12$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით x აქ: y-6x=15. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-6\left(-3\right)=15$$

გაამრავლეთ -6-ზე -3.

$$y+18=15$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-3,x=-3$$