გადაწყვიტეთ {l}{y=-3x-17}{3y=3x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x - 17 } \\ { 3 y = 3 x + 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-5$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3x ორივე მხარეს.

$$y+3x=-17$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$3y-3x=9$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y+3x=-17$$

გამოაკელით 3x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-3x-17$$

ჩაანაცვლეთ -3x-17-ით y მეორე განტოლებაში, 3y-3x=9.

$$3\left(-3x-17\right)-3x=9$$

გაამრავლეთ 3-ზე -3x-17.

$$-9x-51-3x=9$$

მიუმატეთ -9x -3x-ს.

$$-12x-51=9$$

მიუმატეთ 51 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-12x=60$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$x=-5$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით x აქ: y=-3x-17. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-3\left(-5\right)-17$$

გაამრავლეთ -3-ზე -5.

$$y=15-17$$

მიუმატეთ -17 15-ს.

$$y=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-2,x=-5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3x ორივე მხარეს.

$$y+3x=-17$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$3y-3x=9$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3\times 3}&-\frac{3}{-3-3\times 3}\\-\frac{3}{-3-3\times 3}&\frac{1}{-3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-17\right)+\frac{1}{4}\times 9\\\frac{1}{4}\left(-17\right)-\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-2,x=-5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3x ორივე მხარეს.

$$y+3x=-17$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$3y-3x=9$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

იმისათვის, რომ y და 3y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$3y+3\times 3x=3\left(-17\right),3y-3x=9$$

გაამარტივეთ.

$$3y+9x=-51,3y-3x=9$$

გამოაკელით 3y-3x=9 3y+9x=-51-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3y-3y+9x+3x=-51-9$$

მიუმატეთ 3y -3y-ს. პირობები 3y და -3y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9x+3x=-51-9$$

მიუმატეთ 9x 3x-ს.

$$12x=-51-9$$

მიუმატეთ -51 -9-ს.

$$12x=-60$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$x=-5$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით x აქ: 3y-3x=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$3y-3\left(-5\right)=9$$

გაამრავლეთ -3-ზე -5.

$$3y+15=9$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-2,x=-5$$