გადაწყვიტეთ {l}{y=-2x-4}{y=x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x - 4 } \\ { y = x - 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3} \approx -3.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$y+2x=-4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y+2x=-4,y-x=-3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y+2x=-4$$

გამოაკელით 2x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-2x-4$$

ჩაანაცვლეთ -2x-4-ით y მეორე განტოლებაში, y-x=-3.

$$-2x-4-x=-3$$

მიუმატეთ -2x -x-ს.

$$-3x-4=-3$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=1$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{3}-ით x აქ: y=-2x-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-2\left(-\frac{1}{3}\right)-4$$

გაამრავლეთ -2-ზე -\frac{1}{3}.

$$y=\frac{2}{3}-4$$

მიუმატეთ -4 \frac{2}{3}-ს.

$$y=-\frac{10}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{10}{3},x=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$y+2x=-4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y+2x=-4,y-x=-3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-\frac{10}{3},x=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$y+2x=-4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y+2x=-4,y-x=-3$$

გამოაკელით y-x=-3 y+2x=-4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y+2x+x=-4+3$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2x+x=-4+3$$

მიუმატეთ 2x x-ს.

$$3x=-4+3$$

მიუმატეთ -4 3-ს.

$$3x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{3}-ით x აქ: y-x=-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-\left(-\frac{1}{3}\right)=-3$$

გაამრავლეთ -1-ზე -\frac{1}{3}.

$$y+\frac{1}{3}=-3$$

გამოაკელით \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-\frac{10}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{10}{3},x=-\frac{1}{3}$$