გადაწყვიტეთ {l}{y=-7/3x+3}{y=-2/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 7 } { 3 } x + 3 } \\ { y = - \frac { 2 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=3$$

$$y=-4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{7}{3}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{2}{3}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

გამოაკელით \frac{7x}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-\frac{7}{3}x+3$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7x}{3}+3-ით y მეორე განტოლებაში, y+\frac{2}{3}x=-2.

$$-\frac{7}{3}x+3+\frac{2}{3}x=-2$$

მიუმატეთ -\frac{7x}{3} \frac{2x}{3}-ს.

$$-\frac{5}{3}x+3=-2$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{5}{3}x=-5$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით x აქ: y=-\frac{7}{3}x+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-\frac{7}{3}\times 3+3$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{3}-ზე 3.

$$y=-7+3$$

მიუმატეთ 3 -7-ს.

$$y=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-4,x=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{7}{3}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{2}{3}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 3+\frac{7}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}\times 3-\frac{3}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-4,x=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{7}{3}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{2}{3}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

გამოაკელით y+\frac{2}{3}x=-2 y+\frac{7}{3}x=3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y+\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

მიუმატეთ \frac{7x}{3} -\frac{2x}{3}-ს.

$$\frac{5}{3}x=3+2$$

მიუმატეთ 3 2-ს.

$$\frac{5}{3}x=5$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით x აქ: y+\frac{2}{3}x=-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y+\frac{2}{3}\times 3=-2$$

გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე 3.

$$y+2=-2$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-4,x=3$$