გადაწყვიტეთ {l}{y=x/20}{y=(80+x)*1/30}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 20 } } \\ { y = ( 80 + x ) \times \frac { 1 } { 30 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=160$$

$$y=8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{x}{20} ორივე მხარეს.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 20-ზე.

$$20y-x=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 80+x \frac{1}{30}-ზე.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

გამოაკელით \frac{1}{30}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$20y-x=0$$

მიუმატეთ x განტოლების ორივე მხარეს.

$$20y=x$$

ორივე მხარე გაყავით 20-ზე.

$$y=\frac{1}{20}x$$

ჩაანაცვლეთ \frac{x}{20}-ით y მეორე განტოლებაში, y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}.

$$\frac{1}{20}x-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

მიუმატეთ \frac{x}{20} -\frac{x}{30}-ს.

$$\frac{1}{60}x=\frac{8}{3}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 60-ზე.

$$x=160$$

ჩაანაცვლეთ 160-ით x აქ: y=\frac{1}{20}x. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{1}{20}\times 160$$

გაამრავლეთ \frac{1}{20}-ზე 160.

$$y=8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=8,x=160$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{x}{20} ორივე მხარეს.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 20-ზე.

$$20y-x=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 80+x \frac{1}{30}-ზე.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

გამოაკელით \frac{1}{30}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{30}}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&\frac{20}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&3\\-3&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times \frac{8}{3}\\60\times \frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\160\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=8,x=160$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{x}{20} ორივე მხარეს.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 20-ზე.

$$20y-x=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 80+x \frac{1}{30}-ზე.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

გამოაკელით \frac{1}{30}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

იმისათვის, რომ 20y და y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 20-ზე.

$$20y-x=0,20y+20\left(-\frac{1}{30}\right)x=20\times \frac{8}{3}$$

გაამარტივეთ.

$$20y-x=0,20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3}$$

გამოაკელით 20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3} 20y-x=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$20y-20y-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

მიუმატეთ 20y -20y-ს. პირობები 20y და -20y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

მიუმატეთ -x \frac{2x}{3}-ს.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{160}{3}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -3-ზე.

$$x=160$$

ჩაანაცვლეთ 160-ით x აქ: y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-\frac{1}{30}\times 160=\frac{8}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{30}-ზე 160.

$$y-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$$

მიუმატეთ \frac{16}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=8,x=160$$