გადაწყვიტეთ {l}{y=1/3x-6}{y=1/9x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=9$$

$$y=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{1}{3}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{1}{9}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{1}{9}x=-4$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

მიუმატეთ \frac{x}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{1}{3}x-6$$

ჩაანაცვლეთ \frac{x}{3}-6-ით y მეორე განტოლებაში, y-\frac{1}{9}x=-4.

$$\frac{1}{3}x-6-\frac{1}{9}x=-4$$

მიუმატეთ \frac{x}{3} -\frac{x}{9}-ს.

$$\frac{2}{9}x-6=-4$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{2}{9}x=2$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{2}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=9$$

ჩაანაცვლეთ 9-ით x აქ: y=\frac{1}{3}x-6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{1}{3}\times 9-6$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 9.

$$y=3-6$$

მიუმატეთ -6 3-ს.

$$y=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-3,x=9$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{1}{3}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{1}{9}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{1}{9}x=-4$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-6\right)+\frac{3}{2}\left(-4\right)\\-\frac{9}{2}\left(-6\right)+\frac{9}{2}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\9\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-3,x=9$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{1}{3}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{1}{9}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{1}{9}x=-4$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4$$

გამოაკელით y-\frac{1}{9}x=-4 y-\frac{1}{3}x=-6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=-6+4$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=-6+4$$

მიუმატეთ -\frac{x}{3} \frac{x}{9}-ს.

$$-\frac{2}{9}x=-6+4$$

მიუმატეთ -6 4-ს.

$$-\frac{2}{9}x=-2$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{2}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=9$$

ჩაანაცვლეთ 9-ით x აქ: y-\frac{1}{9}x=-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-\frac{1}{9}\times 9=-4$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{9}-ზე 9.

$$y-1=-4$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-3,x=9$$