გადაწყვიტეთ {l}{y+x+3=9}{2y-x-5=15}

$$\left. \begin{array} { l } { y + x + 3 = 9 } \\ { 2 y - x - 5 = 15 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$y = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3} \approx 8.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y+x+3=9,2y-x-5=15$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y+x+3=9$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y+x=6$$

გამოაკელით x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-x+6$$

ჩაანაცვლეთ -x+6-ით y მეორე განტოლებაში, 2y-x-5=15.

$$2\left(-x+6\right)-x-5=15$$

გაამრავლეთ 2-ზე -x+6.

$$-2x+12-x-5=15$$

მიუმატეთ -2x -x-ს.

$$-3x+12-5=15$$

მიუმატეთ 12 -5-ს.

$$-3x+7=15$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=8$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=-\frac{8}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{8}{3}-ით x აქ: y=-x+6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-\left(-\frac{8}{3}\right)+6$$

გაამრავლეთ -1-ზე -\frac{8}{3}.

$$y=\frac{8}{3}+6$$

მიუმატეთ 6 \frac{8}{3}-ს.

$$y=\frac{26}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{26}{3},x=-\frac{8}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y+x+3=9,2y-x-5=15$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{3}\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=\frac{26}{3},x=-\frac{8}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y+x+3=9,2y-x-5=15$$

იმისათვის, რომ y და 2y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$2y+2x+2\times 3=2\times 9,2y-x-5=15$$

გაამარტივეთ.

$$2y+2x+6=18,2y-x-5=15$$

გამოაკელით 2y-x-5=15 2y+2x+6=18-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2y-2y+2x+x+6+5=18-15$$

მიუმატეთ 2y -2y-ს. პირობები 2y და -2y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2x+x+6+5=18-15$$

მიუმატეთ 2x x-ს.

$$3x+6+5=18-15$$

მიუმატეთ 6 5-ს.

$$3x+11=18-15$$

მიუმატეთ 18 -15-ს.

$$3x+11=3$$

გამოაკელით 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-8$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=-\frac{8}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{8}{3}-ით x აქ: 2y-x-5=15. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$2y-\left(-\frac{8}{3}\right)-5=15$$

მიუმატეთ \frac{8}{3} -5-ს.

$$2y-\frac{7}{3}=15$$

მიუმატეთ \frac{7}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=\frac{52}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=\frac{26}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{26}{3},x=-\frac{8}{3}$$