გადაწყვიტეთ {l}{x_{1}+3x_{2}=18}{x_{1}+x_{2}=8}

$$\left. \begin{array} { l } { x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 18 } \\ { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x_1, x_2-ისთვის

$$x_{1}=3$$

$$x_{2}=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x_{1}+3x_{2}=18,x_{1}+x_{2}=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x_{1}-ისთვის, x_{1}-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x_{1}+3x_{2}=18$$

გამოაკელით 3x_{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x_{1}=-3x_{2}+18$$

ჩაანაცვლეთ -3x_{2}+18-ით x_{1} მეორე განტოლებაში, x_{1}+x_{2}=8.

$$-3x_{2}+18+x_{2}=8$$

მიუმატეთ -3x_{2} x_{2}-ს.

$$-2x_{2}+18=8$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x_{2}=-10$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x_{2}=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით x_{2} აქ: x_{1}=-3x_{2}+18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x_{1}.

$$x_{1}=-3\times 5+18$$

გაამრავლეთ -3-ზე 5.

$$x_{1}=-15+18$$

მიუმატეთ 18 -15-ს.

$$x_{1}=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x_{1}=3,x_{2}=5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x_{1}+3x_{2}=18,x_{1}+x_{2}=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{3}{1-3}\\-\frac{1}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 18+\frac{3}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\times 18-\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x_{1} და x_{2}.

$$x_{1}=3,x_{2}=5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x_{1}+3x_{2}=18,x_{1}+x_{2}=8$$

გამოაკელით x_{1}+x_{2}=8 x_{1}+3x_{2}=18-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x_{1}-x_{1}+3x_{2}-x_{2}=18-8$$

მიუმატეთ x_{1} -x_{1}-ს. პირობები x_{1} და -x_{1} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3x_{2}-x_{2}=18-8$$

მიუმატეთ 3x_{2} -x_{2}-ს.

$$2x_{2}=18-8$$

მიუმატეთ 18 -8-ს.

$$2x_{2}=10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x_{2}=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით x_{2} აქ: x_{1}+x_{2}=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x_{1}.

$$x_{1}+5=8$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x_{1}=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x_{1}=3,x_{2}=5$$