გადაწყვიტეთ {l}{x-y=9}{4x+5y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 9 } \\ { 4 x + 5 y = - 18 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=-6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-y=9,4x+5y=-18$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-y=9$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=y+9$$

ჩაანაცვლეთ y+9-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+5y=-18.

$$4\left(y+9\right)+5y=-18$$

გაამრავლეთ 4-ზე y+9.

$$4y+36+5y=-18$$

მიუმატეთ 4y 5y-ს.

$$9y+36=-18$$

გამოაკელით 36 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9y=-54$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$y=-6$$

ჩაანაცვლეთ -6-ით y აქ: x=y+9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-6+9$$

მიუმატეთ 9 -6-ს.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-6$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-y=9,4x+5y=-18$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-1\\4&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{5-\left(-4\right)}&\frac{1}{5-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 9+\frac{1}{9}\left(-18\right)\\-\frac{4}{9}\times 9+\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=-6$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-y=9,4x+5y=-18$$

იმისათვის, რომ x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 9,4x+5y=-18$$

გაამარტივეთ.

$$4x-4y=36,4x+5y=-18$$

გამოაკელით 4x+5y=-18 4x-4y=36-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x-4x-4y-5y=36+18$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4y-5y=36+18$$

მიუმატეთ -4y -5y-ს.

$$-9y=36+18$$

მიუმატეთ 36 18-ს.

$$-9y=54$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$y=-6$$

ჩაანაცვლეთ -6-ით y აქ: 4x+5y=-18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+5\left(-6\right)=-18$$

გაამრავლეთ 5-ზე -6.

$$4x-30=-18$$

მიუმატეთ 30 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-6$$