გადაწყვიტეთ {l}{x-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{299}{19} = 15\frac{14}{19} \approx 15.736842105$$

$$y = -\frac{100}{19} = -5\frac{5}{19} \approx -5.263157895$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 20-ზე.

$$20x-y=320$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-y=21,20x-y=320$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-y=21$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=y+21$$

ჩაანაცვლეთ y+21-ით x მეორე განტოლებაში, 20x-y=320.

$$20\left(y+21\right)-y=320$$

გაამრავლეთ 20-ზე y+21.

$$20y+420-y=320$$

მიუმატეთ 20y -y-ს.

$$19y+420=320$$

გამოაკელით 420 განტოლების ორივე მხარეს.

$$19y=-100$$

ორივე მხარე გაყავით 19-ზე.

$$y=-\frac{100}{19}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{100}{19}-ით y აქ: x=y+21. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{100}{19}+21$$

მიუმატეთ 21 -\frac{100}{19}-ს.

$$x=\frac{299}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 20-ზე.

$$20x-y=320$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-y=21,20x-y=320$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-20\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{20}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\\-\frac{20}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{19}\\-\frac{100}{19}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 20-ზე.

$$20x-y=320$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-y=21,20x-y=320$$

გამოაკელით 20x-y=320 x-y=21-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x-20x-y+y=21-320$$

მიუმატეთ -y y-ს. პირობები -y და y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$x-20x=21-320$$

მიუმატეთ x -20x-ს.

$$-19x=21-320$$

მიუმატეთ 21 -320-ს.

$$-19x=-299$$

ორივე მხარე გაყავით -19-ზე.

$$x=\frac{299}{19}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{299}{19}-ით x აქ: 20x-y=320. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$20\times \frac{299}{19}-y=320$$

გაამრავლეთ 20-ზე \frac{299}{19}.

$$\frac{5980}{19}-y=320$$

გამოაკელით \frac{5980}{19} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=\frac{100}{19}$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=-\frac{100}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$