გადაწყვიტეთ {l}{x-6=y-6/5}{x+9=y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 6 = \frac { y - 6 } { 5 } } \\ { x + 9 = \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=14$$

$$y=46$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$5x-30=y-6$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$5x-30-y=-6$$

დაამატეთ 30 ორივე მხარეს.

$$5x-y=-6+30$$

შეკრიბეთ -6 და 30, რათა მიიღოთ 24.

$$5x-y=24$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x+18=y$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$2x+18-y=0$$

გამოაკელით 18 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$2x-y=-18$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-y=24$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=y+24$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+24\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე y+24.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{24+y}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-y=-18.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}\right)-y=-18$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{24+y}{5}.

$$\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}-y=-18$$

მიუმატეთ \frac{2y}{5} -y-ს.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{48}{5}=-18$$

გამოაკელით \frac{48}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{138}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{3}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=46$$

ჩაანაცვლეთ 46-ით y აქ: x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{5}\times 46+\frac{24}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 46.

$$x=\frac{46+24}{5}$$

მიუმატეთ \frac{24}{5} \frac{46}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=14$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=14,y=46$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$5x-30=y-6$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$5x-30-y=-6$$

დაამატეთ 30 ორივე მხარეს.

$$5x-y=-6+30$$

შეკრიბეთ -6 და 30, რათა მიიღოთ 24.

$$5x-y=24$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x+18=y$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$2x+18-y=0$$

გამოაკელით 18 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$2x-y=-18$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 24-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\\frac{2}{3}\times 24-\frac{5}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\46\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=14,y=46$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$5x-30=y-6$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$5x-30-y=-6$$

დაამატეთ 30 ორივე მხარეს.

$$5x-y=-6+30$$

შეკრიბეთ -6 და 30, რათა მიიღოთ 24.

$$5x-y=24$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x+18=y$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$2x+18-y=0$$

გამოაკელით 18 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$2x-y=-18$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

გამოაკელით 2x-y=-18 5x-y=24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$5x-2x-y+y=24+18$$

მიუმატეთ -y y-ს. პირობები -y და y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5x-2x=24+18$$

მიუმატეთ 5x -2x-ს.

$$3x=24+18$$

მიუმატეთ 24 18-ს.

$$3x=42$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=14$$

ჩაანაცვლეთ 14-ით x აქ: 2x-y=-18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$2\times 14-y=-18$$

გაამრავლეთ 2-ზე 14.

$$28-y=-18$$

გამოაკელით 28 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=-46$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=46$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=14,y=46$$