გადაწყვიტეთ {l}{x-4y=4}{7x-7y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 4 y = 4 } \\ { 7 x - 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-4$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-4y=4$$

მიუმატეთ 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=4y+4$$

ჩაანაცვლეთ 4+4y-ით x მეორე განტოლებაში, 7x-7y=-14.

$$7\left(4y+4\right)-7y=-14$$

გაამრავლეთ 7-ზე 4+4y.

$$28y+28-7y=-14$$

მიუმატეთ 28y -7y-ს.

$$21y+28=-14$$

გამოაკელით 28 განტოლების ორივე მხარეს.

$$21y=-42$$

ორივე მხარე გაყავით 21-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=4y+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=4\left(-2\right)+4$$

გაამრავლეთ 4-ზე -2.

$$x=-8+4$$

მიუმატეთ 4 -8-ს.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-4\times 7\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 7\right)}\\-\frac{7}{-7-\left(-4\times 7\right)}&\frac{1}{-7-\left(-4\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{21}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 4+\frac{4}{21}\left(-14\right)\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{21}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-4,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

იმისათვის, რომ x და 7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$7x+7\left(-4\right)y=7\times 4,7x-7y=-14$$

გაამარტივეთ.

$$7x-28y=28,7x-7y=-14$$

გამოაკელით 7x-7y=-14 7x-28y=28-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$7x-7x-28y+7y=28+14$$

მიუმატეთ 7x -7x-ს. პირობები 7x და -7x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-28y+7y=28+14$$

მიუმატეთ -28y 7y-ს.

$$-21y=28+14$$

მიუმატეთ 28 14-ს.

$$-21y=42$$

ორივე მხარე გაყავით -21-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: 7x-7y=-14. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$7x-7\left(-2\right)=-14$$

გაამრავლეთ -7-ზე -2.

$$7x+14=-14$$

გამოაკელით 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=-28$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=-2$$