გადაწყვიტეთ {l}{x-3y+9=0}{3x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y + 9 = 0 } \\ { 3 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} \approx 2.142857143$$

$$y = \frac{26}{7} = 3\frac{5}{7} \approx 3.714285714$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-3y+9=0$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x-3y=-9$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3y-9$$

ჩაანაცვლეთ -9+3y-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-2y+1=0.

$$3\left(3y-9\right)-2y+1=0$$

გაამრავლეთ 3-ზე -9+3y.

$$9y-27-2y+1=0$$

მიუმატეთ 9y -2y-ს.

$$7y-27+1=0$$

მიუმატეთ -27 1-ს.

$$7y-26=0$$

მიუმატეთ 26 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7y=26$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$y=\frac{26}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{26}{7}-ით y აქ: x=3y-9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=3\times \frac{26}{7}-9$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{26}{7}.

$$x=\frac{78}{7}-9$$

მიუმატეთ -9 \frac{78}{7}-ს.

$$x=\frac{15}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{3}{7}\left(-1\right)\\-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{7}\\\frac{26}{7}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

იმისათვის, რომ x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$3x+3\left(-3\right)y+3\times 9=0,3x-2y+1=0$$

გაამარტივეთ.

$$3x-9y+27=0,3x-2y+1=0$$

გამოაკელით 3x-2y+1=0 3x-9y+27=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x-9y+2y+27-1=0$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-9y+2y+27-1=0$$

მიუმატეთ -9y 2y-ს.

$$-7y+27-1=0$$

მიუმატეთ 27 -1-ს.

$$-7y+26=0$$

გამოაკელით 26 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7y=-26$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=\frac{26}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{26}{7}-ით y აქ: 3x-2y+1=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-2\times \frac{26}{7}+1=0$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{26}{7}.

$$3x-\frac{52}{7}+1=0$$

მიუმატეთ -\frac{52}{7} 1-ს.

$$3x-\frac{45}{7}=0$$

მიუმატეთ \frac{45}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=\frac{45}{7}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{15}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$