გადაწყვიტეთ {l}{x-29z=15}{4x+3z=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 29 z = 15 } \\ { 4 x + 3 z = - 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, z-ისთვის

$$x=-\frac{13}{119}\approx -0.109243697$$

$$z=-\frac{62}{119}\approx -0.521008403$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-29z=15$$

მიუმატეთ 29z განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=29z+15$$

ჩაანაცვლეთ 29z+15-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+3z=-2.

$$4\left(29z+15\right)+3z=-2$$

გაამრავლეთ 4-ზე 29z+15.

$$116z+60+3z=-2$$

მიუმატეთ 116z 3z-ს.

$$119z+60=-2$$

გამოაკელით 60 განტოლების ორივე მხარეს.

$$119z=-62$$

ორივე მხარე გაყავით 119-ზე.

$$z=-\frac{62}{119}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{62}{119}-ით z აქ: x=29z+15. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=29\left(-\frac{62}{119}\right)+15$$

გაამრავლეთ 29-ზე -\frac{62}{119}.

$$x=-\frac{1798}{119}+15$$

მიუმატეთ 15 -\frac{1798}{119}-ს.

$$x=-\frac{13}{119}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-29\times 4\right)}&-\frac{-29}{3-\left(-29\times 4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-29\times 4\right)}&\frac{1}{3-\left(-29\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}&\frac{29}{119}\\-\frac{4}{119}&\frac{1}{119}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}\times 15+\frac{29}{119}\left(-2\right)\\-\frac{4}{119}\times 15+\frac{1}{119}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{119}\\-\frac{62}{119}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და z.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

იმისათვის, რომ x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$4x+4\left(-29\right)z=4\times 15,4x+3z=-2$$

გაამარტივეთ.

$$4x-116z=60,4x+3z=-2$$

გამოაკელით 4x+3z=-2 4x-116z=60-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x-4x-116z-3z=60+2$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-116z-3z=60+2$$

მიუმატეთ -116z -3z-ს.

$$-119z=60+2$$

მიუმატეთ 60 2-ს.

$$-119z=62$$

ორივე მხარე გაყავით -119-ზე.

$$z=-\frac{62}{119}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{62}{119}-ით z აქ: 4x+3z=-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+3\left(-\frac{62}{119}\right)=-2$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{62}{119}.

$$4x-\frac{186}{119}=-2$$

მიუმატეთ \frac{186}{119} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-\frac{52}{119}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=-\frac{13}{119}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$