გადაწყვიტეთ {l}{x-10y=-14}{-5x-8y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 10 y = - 14 } \\ { - 5 x - 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-4$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-10y=-14$$

მიუმატეთ 10y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=10y-14$$

ჩაანაცვლეთ 10y-14-ით x მეორე განტოლებაში, -5x-8y=12.

$$-5\left(10y-14\right)-8y=12$$

გაამრავლეთ -5-ზე 10y-14.

$$-50y+70-8y=12$$

მიუმატეთ -50y -8y-ს.

$$-58y+70=12$$

გამოაკელით 70 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-58y=-58$$

ორივე მხარე გაყავით -58-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=10y-14. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=10-14$$

მიუმატეთ -14 10-ს.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}&-\frac{-10}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&-\frac{5}{29}\\-\frac{5}{58}&-\frac{1}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\left(-14\right)-\frac{5}{29}\times 12\\-\frac{5}{58}\left(-14\right)-\frac{1}{58}\times 12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-4,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

იმისათვის, რომ x და -5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-5x-5\left(-10\right)y=-5\left(-14\right),-5x-8y=12$$

გაამარტივეთ.

$$-5x+50y=70,-5x-8y=12$$

გამოაკელით -5x-8y=12 -5x+50y=70-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-5x+5x+50y+8y=70-12$$

მიუმატეთ -5x 5x-ს. პირობები -5x და 5x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$50y+8y=70-12$$

მიუმატეთ 50y 8y-ს.

$$58y=70-12$$

მიუმატეთ 70 -12-ს.

$$58y=58$$

ორივე მხარე გაყავით 58-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: -5x-8y=12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-5x-8=12$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x=20$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=1$$