გადაწყვიტეთ {l}{x^2-y^2=7}{2y=2+x}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 7 } \\ { 2 y = 2 + x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=4\text{, }y=3$$

$$x=-\frac{8}{3}\approx -2.666666667\text{, }y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების და კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-x=2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2y-x=2,x^{2}-y^{2}=7$$

ამოხსენით 2y-x=2 y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2y-x=2$$

გამოაკელით -x განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=x+2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{2}x+1-ით y მეორე განტოლებაში, x^{2}-y^{2}=7.

$$x^{2}-\left(\frac{1}{2}x+1\right)^{2}=7$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2}x+1.

$$x^{2}-\left(\frac{1}{4}x^{2}+x+1\right)=7$$

გაამრავლეთ -1-ზე \frac{1}{4}x^{2}+x+1.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x^{2}-x-1=7$$

მიუმატეთ x^{2} -\frac{1}{4}x^{2}-ს.

$$\frac{3}{4}x^{2}-x-1=7$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{4}x^{2}-x-8=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-ით a, -\frac{1}{2}\times 2-ით b და -8-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{3}{4}\left(-8\right)}}{2\times \frac{3}{4}}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-3\left(-8\right)}}{2\times \frac{3}{4}}$$

გაამრავლეთ -3-ზე -8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times \frac{3}{4}}$$

მიუმატეთ 1 24-ს.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times \frac{3}{4}}$$

აიღეთ 25-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times \frac{3}{4}}$$

-\frac{1}{2}\times 2-ის საპირისპიროა 1.

$$x=\frac{1±5}{2\times \frac{3}{4}}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}.

$$x=\frac{1±5}{\frac{3}{2}}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±5}{\frac{3}{2}} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1 5-ს.

$$x=\frac{6}{\frac{3}{2}}$$

გაყავით 6 \frac{3}{2}-ზე 6-ის გამრავლებით \frac{3}{2}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±5}{\frac{3}{2}} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 5 1-ს.

$$x=-\frac{4}{\frac{3}{2}}$$

გაყავით -4 \frac{3}{2}-ზე -4-ის გამრავლებით \frac{3}{2}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-\frac{8}{3}$$

არსებობს x-ის ორი ამონახსნი: 4 და -\frac{8}{3}. ჩაანაცვლეთ 4-ით x განტოლებაში y=\frac{1}{2}x+1, რათა იპოვოთ y-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$y=\frac{1}{2}\times 4+1$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 4.

$$y=2+1$$

მიუმატეთ \frac{1}{2}\times 4 1-ს.

$$y=3$$

ახლა ჩაანაცვლეთ -\frac{8}{3}-ით x განტოლებაში y=\frac{1}{2}x+1 და ამოხსენით, რათა იპოვოთ y-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{8}{3}\right)+1$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -\frac{8}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=-\frac{4}{3}+1$$

მიუმატეთ -\frac{8}{3}\times \frac{1}{2} 1-ს.

$$y=-\frac{1}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=3,x=4\text{ or }y=-\frac{1}{3},x=-\frac{8}{3}$$