გადაწყვიტეთ {l}{x^2+y^2=R^2}{y=mx}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = R ^ { 2 } } \\ { y = m x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{R}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{, }y=-\frac{Rm}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

$$x=\frac{R}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{, }y=\frac{Rm}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

ეტაპები ჩანაცვლების და კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით mx ორივე მხარეს.

$$y-mx=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y+\left(-m\right)x=0,x^{2}+y^{2}=R^{2}$$

ამოხსენით y+\left(-m\right)x=0 y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y+\left(-m\right)x=0$$

გამოაკელით \left(-m\right)x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=mx$$

ჩაანაცვლეთ mx-ით y მეორე განტოლებაში, x^{2}+y^{2}=R^{2}.

$$x^{2}+\left(mx\right)^{2}=R^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში mx.

$$x^{2}+m^{2}x^{2}=R^{2}$$

მიუმატეთ x^{2} m^{2}x^{2}-ს.

$$\left(m^{2}+1\right)x^{2}=R^{2}$$

გამოაკელით R^{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(m^{2}+1\right)x^{2}-R^{2}=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1+1m^{2}-ით a, 1\times 0\times 2m-ით b და -R^{2}-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\left(m^{2}+1\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1\times 0\times 2m.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4\left(m^{2}+1\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 1+1m^{2}.

$$x=\frac{0±\sqrt{\left(-4m^{2}-4\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-4m^{2}-ზე -R^{2}.

$$x=\frac{0±\sqrt{4R^{2}\left(m^{2}+1\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

აიღეთ 4\left(1+m^{2}\right)R^{2}-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 1+1m^{2}.

$$x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2} როცა ± პლიუსია.

$$x=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2} როცა ± მინუსია.

$$x=-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

არსებობს x-ის ორი ამონახსნი: \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} და -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}. ჩაანაცვლეთ \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}-ით x განტოლებაში y=mx, რათა იპოვოთ y-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$y=m\times \frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

გაამრავლეთ m-ზე \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}.

$$y=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}m$$

ახლა ჩაანაცვლეთ -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}-ით x განტოლებაში y=mx და ამოხსენით, რათა იპოვოთ y-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$y=m\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)$$

გაამრავლეთ m-ზე -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}.

$$y=\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)m$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}m,x=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{ or }y=\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)m,x=-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}R\text{, }y=\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}Rm\text{; }x=-\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}R\text{, }y=-\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}Rm\text{, }&m\neq -i\text{ and }m\neq i\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=mx\text{, }&\left(m=i\text{ or }m=-i\right)\text{ and }R=0\end{matrix}\right.$$