გადაწყვიტეთ {l}{x=y/2}{y=x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { x = y / 2 } \\ { y = x - 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-5$$

$$y=-10$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{y}{2} ორივე მხარეს.

$$x-\frac{y}{2}=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x-y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-5$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-y=0,-x+y=-5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-y=0$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=y$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}y$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, -x+y=-5.

$$-\frac{1}{2}y+y=-5$$

მიუმატეთ -\frac{y}{2} y-ს.

$$\frac{1}{2}y=-5$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$y=-10$$

ჩაანაცვლეთ -10-ით y აქ: x=\frac{1}{2}y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -10.

$$x=-5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-5,y=-10$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{y}{2} ორივე მხარეს.

$$x-\frac{y}{2}=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x-y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-5$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-y=0,-x+y=-5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-5,y=-10$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{y}{2} ორივე მხარეს.

$$x-\frac{y}{2}=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x-y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-5$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-y=0,-x+y=-5$$

იმისათვის, რომ 2x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$-2x-\left(-y\right)=0,2\left(-1\right)x+2y=2\left(-5\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-2x+y=0,-2x+2y=-10$$

გამოაკელით -2x+2y=-10 -2x+y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x+2x+y-2y=10$$

მიუმატეთ -2x 2x-ს. პირობები -2x და 2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$y-2y=10$$

მიუმატეთ y -2y-ს.

$$-y=10$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=-10$$

ჩაანაცვლეთ -10-ით y აქ: -x+y=-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x-10=-5$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=5$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-5,y=-10$$