გადაწყვიტეთ {l}{x+y=8}{2y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=5$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-x=1$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=8$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+8$$

ჩაანაცვლეთ -y+8-ით x მეორე განტოლებაში, -x+2y=1.

$$-\left(-y+8\right)+2y=1$$

გაამრავლეთ -1-ზე -y+8.

$$y-8+2y=1$$

მიუმატეთ y 2y-ს.

$$3y-8=1$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=-y+8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3+8$$

მიუმატეთ 8 -3-ს.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-x=1$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 8-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=5,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$2y-x=1$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

იმისათვის, რომ x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-x-y=-8,-x+2y=1$$

გამოაკელით -x+2y=1 -x-y=-8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-x+x-y-2y=-8-1$$

მიუმატეთ -x x-ს. პირობები -x და x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-y-2y=-8-1$$

მიუმატეთ -y -2y-ს.

$$-3y=-8-1$$

მიუმატეთ -8 -1-ს.

$$-3y=-9$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: -x+2y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+2\times 3=1$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$-x+6=1$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=3$$