გადაწყვიტეთ {l}{x+y=78}{2x+4y=200}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 78 } \\ { 2 x + 4 y = 200 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=56$$

$$y=22$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=78$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+78$$

ჩაანაცვლეთ -y+78-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+4y=200.

$$2\left(-y+78\right)+4y=200$$

გაამრავლეთ 2-ზე -y+78.

$$-2y+156+4y=200$$

მიუმატეთ -2y 4y-ს.

$$2y+156=200$$

გამოაკელით 156 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=44$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=22$$

ჩაანაცვლეთ 22-ით y აქ: x=-y+78. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-22+78$$

მიუმატეთ 78 -22-ს.

$$x=56$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=56,y=22$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 78-\frac{1}{2}\times 200\\-78+\frac{1}{2}\times 200\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\22\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=56,y=22$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

იმისათვის, რომ x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$2x+2y=2\times 78,2x+4y=200$$

გაამარტივეთ.

$$2x+2y=156,2x+4y=200$$

გამოაკელით 2x+4y=200 2x+2y=156-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x+2y-4y=156-200$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y-4y=156-200$$

მიუმატეთ 2y -4y-ს.

$$-2y=156-200$$

მიუმატეთ 156 -200-ს.

$$-2y=-44$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=22$$

ჩაანაცვლეთ 22-ით y აქ: 2x+4y=200. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+4\times 22=200$$

გაამრავლეთ 4-ზე 22.

$$2x+88=200$$

გამოაკელით 88 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=112$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=56$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=56,y=22$$