გადაწყვიტეთ {l}{x+y=5}{2x-y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { 2 x - y = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=5,2x-y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=5$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+5$$

ჩაანაცვლეთ -y+5-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-y=1.

$$2\left(-y+5\right)-y=1$$

გაამრავლეთ 2-ზე -y+5.

$$-2y+10-y=1$$

მიუმატეთ -2y -y-ს.

$$-3y+10=1$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=-9$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=-y+5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3+5$$

მიუმატეთ 5 -3-ს.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=5,2x-y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=5,2x-y=1$$

იმისათვის, რომ x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$2x+2y=2\times 5,2x-y=1$$

გაამარტივეთ.

$$2x+2y=10,2x-y=1$$

გამოაკელით 2x-y=1 2x+2y=10-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x+2y+y=10-1$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y+y=10-1$$

მიუმატეთ 2y y-ს.

$$3y=10-1$$

მიუმატეთ 10 -1-ს.

$$3y=9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: 2x-y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-3=1$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=3$$