გადაწყვიტეთ {l}{x+y=5}{2x+7y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { 2 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{33}{5} = 6\frac{3}{5} = 6.6$$

$$y = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=5,2x+7y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=5$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+5$$

ჩაანაცვლეთ -y+5-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+7y=2.

$$2\left(-y+5\right)+7y=2$$

გაამრავლეთ 2-ზე -y+5.

$$-2y+10+7y=2$$

მიუმატეთ -2y 7y-ს.

$$5y+10=2$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5y=-8$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=-\frac{8}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{8}{5}-ით y აქ: x=-y+5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\left(-\frac{8}{5}\right)+5$$

გაამრავლეთ -1-ზე -\frac{8}{5}.

$$x=\frac{8}{5}+5$$

მიუმატეთ 5 \frac{8}{5}-ს.

$$x=\frac{33}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{8}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=5,2x+7y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-2}&-\frac{1}{7-2}\\-\frac{2}{7-2}&\frac{1}{7-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 2\\-\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{5}\\-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{8}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=5,2x+7y=2$$

იმისათვის, რომ x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$2x+2y=2\times 5,2x+7y=2$$

გაამარტივეთ.

$$2x+2y=10,2x+7y=2$$

გამოაკელით 2x+7y=2 2x+2y=10-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x+2y-7y=10-2$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y-7y=10-2$$

მიუმატეთ 2y -7y-ს.

$$-5y=10-2$$

მიუმატეთ 10 -2-ს.

$$-5y=8$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$y=-\frac{8}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{8}{5}-ით y აქ: 2x+7y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+7\left(-\frac{8}{5}\right)=2$$

გაამრავლეთ 7-ზე -\frac{8}{5}.

$$2x-\frac{56}{5}=2$$

მიუმატეთ \frac{56}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{66}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{33}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{8}{5}$$