გადაწყვიტეთ {l}{x+y=38000}{0.06x+0.15y=4170}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 38000 } \\ { 0.06 x + 0.15 y = 4170 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=17000$$

$$y=21000$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=38000,0.06x+0.15y=4170$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=38000$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+38000$$

ჩაანაცვლეთ -y+38000-ით x მეორე განტოლებაში, 0.06x+0.15y=4170.

$$0.06\left(-y+38000\right)+0.15y=4170$$

გაამრავლეთ 0.06-ზე -y+38000.

$$-0.06y+2280+0.15y=4170$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{50} \frac{3y}{20}-ს.

$$0.09y+2280=4170$$

გამოაკელით 2280 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.09y=1890$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.09-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=21000$$

ჩაანაცვლეთ 21000-ით y აქ: x=-y+38000. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-21000+38000$$

მიუმატეთ 38000 -21000-ს.

$$x=17000$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=17000,y=21000$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=38000,0.06x+0.15y=4170$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.15}{0.15-0.06}&-\frac{1}{0.15-0.06}\\-\frac{0.06}{0.15-0.06}&\frac{1}{0.15-0.06}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&-\frac{100}{9}\\-\frac{2}{3}&\frac{100}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 38000-\frac{100}{9}\times 4170\\-\frac{2}{3}\times 38000+\frac{100}{9}\times 4170\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17000\\21000\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=17000,y=21000$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=38000,0.06x+0.15y=4170$$

იმისათვის, რომ x და \frac{3x}{50} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 0.06-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$0.06x+0.06y=0.06\times 38000,0.06x+0.15y=4170$$

გაამარტივეთ.

$$0.06x+0.06y=2280,0.06x+0.15y=4170$$

გამოაკელით 0.06x+0.15y=4170 0.06x+0.06y=2280-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$0.06x-0.06x+0.06y-0.15y=2280-4170$$

მიუმატეთ \frac{3x}{50} -\frac{3x}{50}-ს. პირობები \frac{3x}{50} და -\frac{3x}{50} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$0.06y-0.15y=2280-4170$$

მიუმატეთ \frac{3y}{50} -\frac{3y}{20}-ს.

$$-0.09y=2280-4170$$

მიუმატეთ 2280 -4170-ს.

$$-0.09y=-1890$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -0.09-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=21000$$

ჩაანაცვლეთ 21000-ით y აქ: 0.06x+0.15y=4170. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$0.06x+0.15\times 21000=4170$$

გაამრავლეთ 0.15-ზე 21000.

$$0.06x+3150=4170$$

გამოაკელით 3150 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.06x=1020$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.06-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=17000$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=17000,y=21000$$