გადაწყვიტეთ {l}{x+y=250}{x/19+y/10=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 19 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667$$

$$y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=250$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+250$$

ჩაანაცვლეთ -y+250-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19.

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19$$

გაამრავლეთ \frac{1}{19}-ზე -y+250.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19$$

მიუმატეთ -\frac{y}{19} \frac{y}{10}-ს.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19$$

გამოაკელით \frac{250}{19} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{9}{190}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{370}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{370}{3}-ით y აქ: x=-y+250. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{370}{3}+250$$

მიუმატეთ 250 -\frac{370}{3}-ს.

$$x=\frac{380}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

იმისათვის, რომ x და \frac{x}{19} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{19}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

გამოაკელით \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

მიუმატეთ \frac{x}{19} -\frac{x}{19}-ს. პირობები \frac{x}{19} და -\frac{x}{19} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

მიუმატეთ \frac{y}{19} -\frac{y}{10}-ს.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19$$

მიუმატეთ \frac{250}{19} -19-ს.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{9}{190}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{370}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{370}{3}-ით y აქ: \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19$$

გაამრავლეთ \frac{1}{10}-ზე \frac{370}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19$$

გამოაკელით \frac{37}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 19-ზე.

$$x=\frac{380}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$