გადაწყვიტეთ {l}{x+y=130}{20x+5y=1925}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 130 } \\ { 20 x + 5 y = 1925 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=85$$

$$y=45$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=130$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+130$$

ჩაანაცვლეთ -y+130-ით x მეორე განტოლებაში, 20x+5y=1925.

$$20\left(-y+130\right)+5y=1925$$

გაამრავლეთ 20-ზე -y+130.

$$-20y+2600+5y=1925$$

მიუმატეთ -20y 5y-ს.

$$-15y+2600=1925$$

გამოაკელით 2600 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-15y=-675$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$y=45$$

ჩაანაცვლეთ 45-ით y აქ: x=-y+130. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-45+130$$

მიუმატეთ 130 -45-ს.

$$x=85$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=85,y=45$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-20}&-\frac{1}{5-20}\\-\frac{20}{5-20}&\frac{1}{5-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 130+\frac{1}{15}\times 1925\\\frac{4}{3}\times 130-\frac{1}{15}\times 1925\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\45\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=85,y=45$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

იმისათვის, რომ x და 20x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 20-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$20x+20y=20\times 130,20x+5y=1925$$

გაამარტივეთ.

$$20x+20y=2600,20x+5y=1925$$

გამოაკელით 20x+5y=1925 20x+20y=2600-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$20x-20x+20y-5y=2600-1925$$

მიუმატეთ 20x -20x-ს. პირობები 20x და -20x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$20y-5y=2600-1925$$

მიუმატეთ 20y -5y-ს.

$$15y=2600-1925$$

მიუმატეთ 2600 -1925-ს.

$$15y=675$$

ორივე მხარე გაყავით 15-ზე.

$$y=45$$

ჩაანაცვლეთ 45-ით y აქ: 20x+5y=1925. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$20x+5\times 45=1925$$

გაამრავლეთ 5-ზე 45.

$$20x+225=1925$$

გამოაკელით 225 განტოლების ორივე მხარეს.

$$20x=1700$$

ორივე მხარე გაყავით 20-ზე.

$$x=85$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=85,y=45$$