გადაწყვიტეთ {l}{x+y=10000}{0.0180x+0.0100y=0.0150(10000}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 10000 } \\ { 0.0180 x + 0.0100 y = 0.0150 ( 10000 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-12498.125$$

$$y=22498.125$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=10000,0.018x+0.01y=0.015$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=10000$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+10000$$

ჩაანაცვლეთ -y+10000-ით x მეორე განტოლებაში, 0.018x+0.01y=0.015.

$$0.018\left(-y+10000\right)+0.01y=0.015$$

გაამრავლეთ 0.018-ზე -y+10000.

$$-0.018y+180+0.01y=0.015$$

მიუმატეთ -\frac{9y}{500} \frac{y}{100}-ს.

$$-0.008y+180=0.015$$

გამოაკელით 180 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-0.008y=-179.985$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -125-ზე.

$$y=22498.125$$

ჩაანაცვლეთ 22498.125-ით y აქ: x=-y+10000. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-22498.125+10000$$

მიუმატეთ 10000 -22498.125-ს.

$$x=-12498.125$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-12498.125,y=22498.125$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=10000,0.018x+0.01y=0.015$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.01}{0.01-0.018}&-\frac{1}{0.01-0.018}\\-\frac{0.018}{0.01-0.018}&\frac{1}{0.01-0.018}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1.25&125\\2.25&-125\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1.25\times 10000+125\times 0.015\\2.25\times 10000-125\times 0.015\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12498.125\\22498.125\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-12498.125,y=22498.125$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=10000,0.018x+0.01y=0.015$$

იმისათვის, რომ x და \frac{9x}{500} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 0.018-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$0.018x+0.018y=0.018\times 10000,0.018x+0.01y=0.015$$

გაამარტივეთ.

$$0.018x+0.018y=180,0.018x+0.01y=0.015$$

გამოაკელით 0.018x+0.01y=0.015 0.018x+0.018y=180-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$0.018x-0.018x+0.018y-0.01y=180-0.015$$

მიუმატეთ \frac{9x}{500} -\frac{9x}{500}-ს. პირობები \frac{9x}{500} და -\frac{9x}{500} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$0.018y-0.01y=180-0.015$$

მიუმატეთ \frac{9y}{500} -\frac{y}{100}-ს.

$$0.008y=180-0.015$$

მიუმატეთ 180 -0.015-ს.

$$0.008y=179.985$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 125-ზე.

$$y=22498.125$$

ჩაანაცვლეთ 22498.125-ით y აქ: 0.018x+0.01y=0.015. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$0.018x+0.01\times 22498.125=0.015$$

გაამრავლეთ 0.01-ზე 22498.125 მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$0.018x+224.98125=0.015$$

გამოაკელით 224.98125 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.018x=-224.96625$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.018-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-12498.125$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-12498.125,y=22498.125$$