გადაწყვიტეთ {l}{x+y=-4}{y=5x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 4 } \\ { y = 5 x + 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=-4$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y-4$$

ჩაანაცვლეთ -y-4-ით x მეორე განტოლებაში, -5x+y=2.

$$-5\left(-y-4\right)+y=2$$

გაამრავლეთ -5-ზე -y-4.

$$5y+20+y=2$$

მიუმატეთ 5y y-ს.

$$6y+20=2$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6y=-18$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: x=-y-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\left(-3\right)-4$$

გაამრავლეთ -1-ზე -3.

$$x=3-4$$

მიუმატეთ -4 3-ს.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-5\right)}&-\frac{1}{1-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{1-\left(-5\right)}&\frac{1}{1-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-4\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{5}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

გამოაკელით -5x+y=2 x+y=-4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x+5x+y-y=-4-2$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$x+5x=-4-2$$

მიუმატეთ x 5x-ს.

$$6x=-4-2$$

მიუმატეთ -4 -2-ს.

$$6x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით x აქ: -5x+y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-5\left(-1\right)+y=2$$

გაამრავლეთ -5-ზე -1.

$$5+y=2$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-3$$